EXPROIC

Las cargas de peso propio de un edificio, las cuales constituyen un gran porcentaje de la carga gravitacional total, actúan paulatinamente durante las etapas de construcción del edificio.

Muchos programas de computadoras no consideran la secuencia constructiva y aplican la carga completa al edificio cuando éste ya está construido. El no considerar la aplicación de las cargas según la secuencia constructiva produce que en los últimos pisos de un edificio alto (más de 10 pisos) se presenten diagramas de momentos flectores irreales.

En edificios de concreto armado, hay que tomar en cuenta también los cambios volumétricos que sufre el material a lo largo del tiempo debidos en su mayoría al flujo plástico (creep) y a la retracción (contracción de fragua), ya que producen esfuerzos adicionales en la estructura. Para resolver manualmente la secuencia constructiva existen métodos aproximados como el propuesto por el ACI, que considera:

- Realizar el metrado de las cargas por nivel (Pi).

- Evaluar los desplazamientos verticales absolutos de cada eje de columna.

- Determinar los momentos considerando que los extremos lejanos de la viga en estudio se encuentran empotrados, es decir, que no existe repercusión de los giros entre los niveles consecutivos.

Cuando se usa programas para resolver pórticos planos, existe un modelo alternativo que consiste en calcular unas cargas equivalentes “F” (positivas cuando están dirigidas hacia abajo), que aplicadas de una sola vez sobre la estructura ya construida, reproduzcan los desplazamientos generados durante el proceso constructivo, garantizando la compatibilidad de desplazamiento vertical que debe existir en una columna que pertenece a dos pórticos que se interceptan ortogonalmente (efecto espacial).

El programa PROCONST es uno de ellos. Para ilustrar el efecto de la secuencia constructiva, se muestra en la figura ilustrada dos pórticos de 20 pisos, analizados con ETABS, junto con los momentos flectores en las vigas de sus últimos pisos.

 En el pórtico de la izquierda no se ha considerado la secuencia constructiva y puede notarse que sobre el eje 1-B prácticamente no aparecen momentos negativos. Esto se debe en parte a que las deformaciones axiales y las rotaciones producidas en los niveles inferiores se van acumulando piso a piso, generando una distorsión en el diagrama de momentos en los últimos pisos.

En el pórtico de la derecha, donde se ha analizado el efecto de la secuencia constructiva, se considera que las deformaciones (rotaciones o desplazamientos verticales) producidas en los pisos construidos no generan esfuerzos sobre los pisos superiores que serán construidos posteriormente. Esto se debe a que en la realidad:

- Las columnas son construidas a plomo con lo cual se corrige la rotación del nudo inmediato inferior

 - Las vigas son encofradas de manera horizontal, por lo que se compensa la pérdida de altura en las columnas, producida por su deformación axial.

Secuencia Constructiva en ETABS

Para modelar la secuencia constructiva en ETABS, es necesario definir el orden en que serán construidos los elementos del edificio (columnas, vigas, losas, etc.) y las cargas que presentarán en cada etapa, en un caso de análisis, denominado de Secuencia constructiva.

Para ello se deben crear grupos activos que consideren a los elementos de cada etapa de construcción. Estos grupos pueden ser creados de manera automática por el programa o de manera manual.

Se debe tener en consideración si se decide agrupar la estructura del edificio de manera manual, que cada grupo activo (o etapa) subsiguiente de construcción está conformado por los objetos del grupo previo y por los objetos del piso que se construye.

Es posible también que los objetos de un grupo activo sean removidos y asignados a una etapa siguiente, como ocurre por ejemplo en el caso de los puntales que controlan la deformación de una losa colaborante, mientras que el concreto está fresco.

En un momento los puntales serán utilizados en un nivel y luego serán retirados de ese nivel y utilizados en el siguiente.

Los objetos removidos y agregados a una etapa posterior comienzan nuevamente con un estado inicial sin esfuerzos.

Casos de Secuencia Constructiva

El análisis de la secuencia constructiva es tratado por ETABS como un tipo especial de análisis estático no lineal, ya que la estructura puede estar sometida a deformaciones inelásticas.

Para crear un caso de secuencia constructiva es necesario en primer lugar definir todos los casos de carga estática que están presentes durante la construcción del edificio, previamente a la aplicación de las cargas en los elementos.

Posteriormente, se establecen los grupos activos que representarán las etapas de construcción del edificio. Es posible hacerlo de una manera automática, al indicar simplemente cada cuantos niveles se creará un grupo activo o de manera manual, definiendo qué elementos conforman el grupo activo para cada nivel del edificio.

Los casos de secuencia constructiva también pueden considerar efectos geométricos no lineales (efectos P-Delta).

Para definir un caso de secuencia constructiva debe llenarse en un formulario, como el mostrado en la figura 3-59, lo siguiente:

 - El nombre del caso de secuencia constructiva.

- La consideración de los efectos geométricos no lineales (efectos P-Delta).

- El patrón de cargas presente en todas las etapas de construcción.

- Si los objetos de la estructura serán agrupados de manera automática por el programa o de manera manual.

- Si el caso es creado de manera automática, cada cuantos niveles el programa creará un grupo activo.

- Si el caso es creado de manera manual, para cada nivel un grupo previamente definido.

 Para que se muestren las fuerzas internas en los elementos de la estructura, tomando en cuenta que el edificio ha sido cargado en diferentes etapas durante su construcción, se debe definir un caso de secuencia constructiva:

- Ingresar al menú Define > Add Sequential Construction Case.

- En la ventana Auto Construction Sequence Case, verificar que la información de CM (Carga Muerta) = 1

Fuente: Curso Avanzado de Estructuras en CSI – ETABS, realizado por Ing. Sebastián Loyo. 2010

Las pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para construir tales monumentos con medios muy simples; pero nada parece indicar que hiciera falta una tecnología superior a la que disponían los egipcios representada por “ingenios” de madera, trineos e, hipotéticamente, usando la rueda, en forma de rodillos de madera y rampas.

No se sabe con certeza cómo se construyeron las pirámides, pues no han perdurado documentos de su época que lo describan. Además, se utilizaron diversos materiales (piedra escuadrada, piedra sin tallar, adobe) y variadas técnicas en la construcción de sus núcleos (apilamiento de bloques, muros resistentes conformando espacios rellenos de cascotes, etc.).

La hipótesis más aceptada es la siguiente: previamente se procedía a aplanar el terreno rocoso, y excavar canales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que se preparaba una superficie horizontal. Después se rellenaban los surcos. A continuación se excavaba la cámara subterránea y se comenzaba la edificación. La mayoría de los bloques de piedra eran cortados en canteras próximas al lugar de construcción. Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas. Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo.

Teorías sobre su construcción

Existen numerosas teorías, meramente especulativas, sobre el método de construcción de las pirámides egipcias, pero los especialistas no se ponen de acuerdo en numerosos puntos, debido a la total ausencia de documentos, de esas épocas, que describan el proceso seguido para edificarlas. Algunas de estas teorías son:

• Sin rampas: según comentaron a Heródoto los sacerdotes egipcios, comenzaban construyendo una serie de “gradas” y utilizando “ingenios” de madera, subían los bloques desde el suelo a la primera “grada”, luego a la segunda, y así sucesivamente. Es el modo de construir más lógico, posteriormente utilizado por griegos, romanos, maestros de obras medievales, etc., con “ingenios” de madera.
• Rampa incrementada: la construcción se realizaba conformando una gran rampa de arena, rectilínea, que aumentaba de altura y anchura según crecía la pirámide. Presenta, entre otras, la dificultad de ampliar la rampa y el gran volumen de esta, superior incluso al de la pirámide y el trabajo requerido en montarla y desmontarla.
• Múltiples rampas: las piedras eran levantadas sobre cada hilada para acceder al siguiente nivel. De llevarse así a cabo la construcción habrían tenido que salvar, entre otras, la gran dificultad que supone colocar los últimos bloques de cada nivel.

Teorías sobre quienes las construyeron

Existen distintas teorías acerca de quienes construyeron las pirámides. La más difundida de ellas cuenta que fueron construidas por miles de esclavos y esta leyenda aún se sigue contando a los turistas; incluso ha sido reflejada en algunas películas de Hollywood.

Zahi Hawass sostiene que fueron obreros y muy bien tratados. En una intensa investigación, Mark Lehner encontró muchos huesos de vaca en la calle principal de la ciudad, tantos como para darles de comer a miles de hombres durante casi un siglo. Además, también encontró miles de raspas de pescado. Supuso que además de carne de vaca también se les daba toneladas de pescado del Nilo.

El poder entender y manejar el conocimiento de los modelos estructurales requieren contar con herramientas que nos permitan evaluar las tensiones que se generan en los elementos que componen el sistema.

En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.

El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.

El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

El análisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de hormigón armado en 1950 era una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingeniería, y para Hardy Cross, que aquí existen tan pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuerzos y deflexiones en un marco estáticamente indeterminado, ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido como “Distribución de Momentos” o “Método de Hardy Cross”. En el método de distribución de momentos, los momentos en los extremos fijos de los marcos son gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos tales que el sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural. Sin embargo, el método era todavía una aproximación pero podía ser resuelto a ser muy cercano a la solución real.

El método de Hardy Cross es esencialmente el método de Jacobi aplicado a las fórmulas de desplazamiento de análisis estructural.

Ahora el método de distribución de momentos no es el más comúnmente usado porque las computadoras han cambiado la forma en que los ingenieros evalúan las estructuras y los programas de distribución de momentos son raramente creados hoy en día. El software de análisis estructural hoy en día está basado en el Método de Flexibilidad , Método matricial de la rigidez o Método de los Elementos Finitos (FEM por sus siglas en inglés).

Otro método de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más común para resolver tales problemas.

El recibió numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana para Educación en Ingeniería (1944), la medalla Wason del Instituto Americano del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros Estructurales de Gran Bretaña (1959).

Como forma de disminuir los efectos de los sismos en las estructuras o edificios, en Chile se esta utilizando la aislación sísmica de base y la disipación de energía. Ambas metodología han demostrado a nivel mundial que son capaces de disminuir notoriamente los daños que producen los terremotos en las estructuras o edificios.

Aislación sísmica de base – Esta basada en la idea de aislar una estructura del suelo mediante elementos estructurales que reducen el efecto de los sismos sobre la estructura. Estos elementos estructurales se denominan aisladores sísmicos y son dispositivos que absorben mediante deformaciones elevadas la energía que un terremoto transmite a una estructura. Estos dispositivos pueden ser de diferentes tipos y formas, los mas conocidos son los basados en goma de alto amortiguamiento, goma con núcleo de plomo, neoprenicos o fricciónales. Al utilizar estos elementos, la estructura sufre un cambio en la forma como se mueve durante un sismos y una reducción importante de las fuerzas que actúan sobre ella durante un sismo. 

Los mas usados son los de goma de alto amortiguamiento y los neoprenicos. Una aplicación de esta tecnología lo constituye el Edificio Andalucía que fue el primer edificio habitacional en Chile con aislación sísmica de base. Actualmente también se utiliza esta tecnología en obras civiles como el Viaducto Marga-Marga que fue el primer puente carretero construido con aislacion sísmica de base.

Disipación de energía – Esta basada en la idea de colocar en la estructura dispositivos destinados a aumentar la capacidad de perder energía de una estructura durante un terremoto. Toda estructura disipa o elimina la energía de un sismo mediante deformaciones. Al colocar un dispositivo de disipación de energía en una estructura, estos van ha experimentar fuertes deformaciones con los movimientos de la estructura durante un sismo. Mediante estas fuertes deformaciones se incrementa notablemente la capacidad de disipar energía de la estructura con una reducción de las deformaciones de la estructura. Estos dispositivos se conocen como disipadores de energía o amortiguadores sísmicos y pueden ser de diversas formas y principios de operación. Los mas conocidos son en base a un elemento viscoso que se deforma o con un elementos metálico que logra la fluencia fácilmente.

Después de los sismos de Northridge (1994) y Kobe (1995), países como USA, Japón y algunos países europeos, han tenido que replantear la forma de diseñar sus estructuras en zonas sísmicas. Estos movimientos sísmicos aunque de magnitud importante, no cobraron muchas vidas, incluso al estar en zonas altamente pobladas; pero si has sido unos de los fenómenos naturales que han causado más pérdidas materiales hasta la fecha.

Particularmente el AISC (American Institute Steel Construction), dedicado exclusivamente a estructuras de acero, ha publicado sus disposiciones sísmicas; las cuales recogen toda la experiencia y conocimiento adquirido de los movimientos sísmicos anteriores. Este trabajo plantea una serie de procedimiento y recomendaciones, implementando nuevas metodologías y mejorando la comprensión en cuanto el comportamiento general de edificios de acero en zonas sísmicas; siempre buscando estructuras más seguras.

Existen una gran variedad de tipologías estructurales, relacionadas con estructura de acero; pero cuando nos referimos a pórtico estructurales utilizados en edificios en zonas sísmicas, aparecen tres grandes grupos. Los pórticos en estructuras de acero más usado son PRM (Pórticos Resistentes a Momento), PAC (Pórticos Arriostrados Concéntricamente) y PAE (Pórticos Arriostrados Excéntricamente).

Figura 1. Tipologías de estructuras de acero del tipo pórtico.

Comportamiento sísmico de edificios de acero

Hace unos años, el término ductilidad se usaba solo para caracterizar el comportamiento de los materiales. Posteriormente, el concepto se extendió a la estructura, y comenzó a asociarse a la resistencia y la rigidez de la estructura como un todo.

Hoy se entiende por ductilidad, la capacidad que tiene una estructura (o un miembro estructural) de experimentar grandes deformaciones inelásticas y aun en rango plástico, sin que se presente un reducción significativa de su resistencia. En la práctica común del diseño sismo resistente de las estructuras, se acepta tal ductilidad como una medida de la capacidad de disipar energía sísmica mediante la aparición de ese tipo de deformaciones. Pero también,

12 se reconoce con el término ductilidad, la capacidad que tiene una estructura de sufrir deformaciones después de la iniciación de la fluencia, sin que haya una pérdida significativa de la resistencia. En la literatura especializada, se definen varios tipos de ductilidad (Ref. 11):

• Ductilidad del material, que corresponde a las deformaciones plásticas de los materiales.
• Ductilidad de la sección transversal, o ductilidad por curvatura, que se refiere a las deformaciones plásticas de la sección transversal de los miembros, considerando la interacción entre las partes que componen esa sección transversal.
•  Ductilidad del miembro, o curvatura por rotación, cuando se consideran las propiedades del miembro.
• Ductilidad de la estructura, o ductilidad por desplazamientos, que considera el comportamiento de toda la estructura.
• Ductilidad de energía, cuando se considera al nivel de la energía sísmica disipada.

En los diseños sísmicos basados en la aplicación de fuerzas horizontales, es usual estimar las demandas a partir de un análisis lineal, dividiendo las fuerzas por un factor, conocido como factor de modificación de respuesta o coeficiente de disipación de energía, denominado en la literatura como coeficiente R o q-factor.

Figura 2. Desplazamiento de una estructura solicitada por fuerza horizontal

En la Fig. 2 se representan los desplazamientos de la cubierta de un edificio en función del cortante sísmico; la línea OA muestra el comportamiento elástico de la estructura, en la que los desplazamientos se suponen proporcionales a la magnitud de la fuerza horizontal aplicada. Como se anotó anteriormente, si la resistencia del sistema estructural resistente a fuerzas laterales se desarrolla a un nivel de respuesta sísmica menor que la correspondiente al sismo de diseño, aparecerán deformaciones inelásticas, con plastificación de algunas secciones. El punto D representa la aparición de la primera articulación plástica. A partir de este punto, el comportamiento deja de ser lineal, y en la medida en que se presentan más articulaciones, este comportamiento tiende a ser el que muestra la curva ODB, el cual suele simplificarse con la curva idealizada OEC. En la Fig. 3a se muestran de nuevo los comportamientos elástico e idealizado. Newmark y Hall en 1973 (Ref. 12, p209-236) presentaron la propuesta de usar la igualdad de desplazamientos como una aproximación para determinar la magnitud de la fuerza sísmica en estructuras con comportamiento inelástico, propuesta que se basa en analizar la estructura con una fuerza R veces menor que la fuerza sísmica FE teórica, partiendo de que, si la estructura se comportase elásticamente, con la fuerza FE sufriría un desplazamiento igual a Dm, mientras que si su comportamiento es plástico idealizado, el mismo desplazamiento se alcanzaría con una fuerza FE/R. Este planteamiento lo propusieron Newmark y Hall, 1973, para el caso de estructuras con períodos relativamente largos, mientras que para períodos cortos sugirieron usar el principio de igualdad de energía que se muestra en la Fig. 2b, que se basa en la determinación de R a partir de la igualación de las áreas de las figuras OAB y OECD. Esta propuesta influyó en las prácticas de diseño alrededor del mundo en forma trascendental.

Figura 3. Principios de igualdad de desplazamientos e igualdad de energías para determinación de R en estructuras con periodos largos y cortos, respectivamente.

En la Fig 3a, la ductilidad definida en función de desplazamientos, es:

 Mientras que la de la Fig. 2b, igualando las energías, se obtiene:

A partir de estas expresiones, Newmark y Hall, 1973, propusieron las conocidas ecuaciones:

Como se puede apreciar, para períodos muy cortos, R tiende a la unidad. En las NSR-98 se propone un procedimiento similar, aunque la ecuación (4) es reemplazada por otra). Hay muchas propuestas para la determinación de R, entre otras:

• Basadas en el principio de ductilidad (Ballio & Setti).

• Basadas en la respuesta de sistemas de un grado de libertad (Newmark & Hall, Giuffré &Gianini, Krawinkler & Nassar)

• En métodos de energía (Como & Lani, Kato & Akiyama).

• Fatiga a bajos ciclos (Ballio & Castiglioni, Calado & Azevedo).

Normativa sismo-resistente

El principal esfuerzo de investigación en Estados Unidos fue llevado a cabo a través de una asociación entre la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC), el Consejo de Tecnología Aplicada (ATC) y el Consorcio de Universidades para la Investigación en Ingeniería Sísmica (CUREE), conocida como proyecto SAC. Este proyecto se concentró principalmente en el estudio de marcos a momento, dividiéndose en tres etapas: el estudio de las prácticas pre-Northridge, el análisis de las fallas observadas después de este terremoto y sus posibles causas, y el desarrollo y verificación de conexiones que tuvieran un mejor 15  desempeño. Tras la aparición de las conclusiones iniciales del proyecto SAC, el AISC editó la

El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física.

El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito básico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolución temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:

1. El problema debe reformularse en forma variacional.
2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para problemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial.
3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.
4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.

En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.

Formulación débil

La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas.

Dada una ecuación diferencial lineal de la forma:

(1)

Donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d-dimensional , y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la función buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuación (2) es equivalente a:

(2a)

Donde V’ es el espacio dual de V, la forma variacional débil se obtiene buscando la única solución tal que:

(2b)

Cuando el operador lineal es un operador elíptico, el problema se puede plantear como un problema de minimización sobre el espacio de Banach.

Discretización del dominio

Dado un dominio con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una partición en n “elementos finitos”, es una colección de n subdominios que satisfece:

1. 
2. Cada Ω^(e) es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua.
3. 

Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los “elementos finitos” tienen la misma “forma”, es decir, existe un dominio de referencia y una colección de funciones biyectivas:

Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente también dominio isoparamétrico. En los análisis 2D (d = 2) el dominio de referencia se suele tomar como un triángulo equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis 3D (d = 3), el dominio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro. Además sobre cada elemento se considerarán algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirán los vértices del elemento finito y se requerirá la condición adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto , es decir:

Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensión finito, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema variacional. El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio de dimensión no-finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, así que en la práctica se considerará un subespacio de dimensión finita del espacio vectorial original . Y en lugar de la solución exacta de (2b) se calcula la proyección de la solución original sobre dicho subespacio vectorial de dimensión finita, es decir, se resolverá numéricamente el siguiente problema:

(2c)

Donde:

, es la solución aproximada.

es el proyector ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discretiación.

Si la discretización es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará razonablemente bien la solución original. Eso implicará en general considerar un número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyección de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceá, que en esencia afirma que la solución exacta y la solución aproximada satisfacen:

(LC)

Es decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretización en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original .

[editar] Funciones de forma y espacio de la solución

Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la solución exacta del problema. Desde un punto de vista práctico resulta útil definir un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado:

Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial que servirá para aproximar la solución como:

(3)

Cuando es una función lineal y el espacio está formado por polinomios entonces la restricción de es también un polinomio. El espacio vectorial es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema:

Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:

Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier función definida sobre el dominio original mediante el proyector :

(4)

Resolución de las ecuaciones

Fijada una base asociada a una determinada discretización del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones la forma débil del problema (, cuando la función es bilineal) puede escribirse como una ecuación matricial simple:

Donde N es el número de nodos. Agrupando los términos y teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tanto la ecuación anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que:

(5)

Este es la forma común del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuación diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta última forma es precisamente la forma (*) de la reseña histórica. Para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el número de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria.

En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolución numérica son:

1. El cálculo de la matriz de coeficientes , esto generalmente requiere integración numérica aproximada lo cual es una nueva fuente de errores en el cálculo por el MEF.
2. El uso de un método eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el método de Cramer es totalmente impracticable para , un ordenador de unos 10 GFlops tardaría más de 2 años en resolver el sistema por dicho método, mientras que si se usa el método de eliminación gaussiana tardaría menos de una diez milésima de segundo.

Para entender la necesidad de la integración numérica necesitamos ver qué forma tiene típicamente la forma débil del problema, expresada en términos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma débil involucra integrales de la forma:

Donde:

son el domino sobre el que se plantea el problema.

, representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparamétrico que da la forma de los elementos finitos.

, representan la función que debe integrarse y su expresión sobre el dominio isoparamétrico.

, la aplicación que relaciona el dominio isoparamétrico con cada elemento finito.

w_m,ξ_m, son los pesos y los puntos de integración usados para integración gaussiana.

n,n_PI, son el número total de elementos y el número de puntos de integración por elemento.

Aproximación del error

De acuerdo con el lema de Ceá (LC) el error cometido en la aproximación de una solución exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximación, es decir, la solución obtenida mediante el MEF es, tanto más buena cuanto mejor sea la aproximación . A continuación acotamos este error de aproximación que acotará el error de la solución de elementos finitos.

Para ello necesitamos definir el diámetro de cada subdominio o elemento finito:

h es un medida de la finura de la discretización es el máximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que el error de aproximación (y por tanto el error de la solución mediante elementos finitos) viene acotada por:

(AE)

Donde:

, son respectivamente la solución exacta y la solución obtenida mediante elementos finitos.

, es un número real que depende de la forma del dominio, entre otros factores.

, es el k+1-ésimo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio Ω.

, es la seminorma dada por:

siendo un multiíndice y la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del espacio L²(Ω).

¿Cómo trabaja el MEF en la práctica?

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo aproximada debido a ese último paso.

El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número de finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un “elemento finito”. El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necearias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:

• Preproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo.
• Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.
• Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación.

Preproceso y generación de la malla

La malla se genera y ésta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La información sobre las propiedades del material y otras características del problema se almacena junto con la información que describe la malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos térmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica u otra propiedad. Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de elevada tensión. La malla actúa como la red de una araña en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos.

Las tareas asignadas al preproceso son:

1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de preproceso.
2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial.
3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir definido por: u = N1 u1 + N2 u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.
4. Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.
5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = k . u, que como vemos es similar a la del cálculo matricial.

Cálculo y resolución de sistemas de ecuaciones

En un problema mecánico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de análisis estructural estático o un problema elástico, el cálculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito.

Cuando el problema es no-lineal en general la aplicación de las fuerzas requiere la aplicación incremental de las fuerzas y considerar incrementos numéricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos. Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesión de instantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantáneo en cada instante. En general estos dos últimos tipos de problemas requieren un tiempo de cálculo subtancialmente más elevado que en un problema estacionario y lineal.

Postproceso

Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos más comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados obtenidos del la resolución del sistema son tratados, para obtener representación gráficas y obtener magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del problema.

El post-proceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal manera que sea más fácilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o no aceptables. En el cálculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura.

Problemas termomecánicos

Un amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) están disponibles para la minimización ó la maximización:

• Masa, volumen, temperatura
• Energía tensional, esfuerzo tensional
• Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración
• Sintética (definidas por el usuario)

Hay múltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son:

• Puntuales, presión, térmicas, gravedad, y cargas centrífugas estáticas
• Cargas térmicas de soluciones del análisis de transmisión de calor
• Desplazamientos forzados
• Flujo de calor y convención
• Puntuales, de presión, y cargas de gravedad dinámicas

Cada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es construída con el tiempo. Algunos ejemplos de elementos son:

• Elementos tipo barra
• Elementos tipo viga
• Placa/Cáscara/Elementos compuestos
• Panel de sándwich
• Elementos sólidos
• Elementos tipo muelle
• Elementos de masa
• Elementos rígidos
• Elementos amortiguadores viscosos

Muchos programas MEF también están equipados con la capacidad de usar múltiples materiales en la estructura, como:

• Modelos elásticos isotrópicos / ortotrópicos / anisótropicos generales
• Materiales homogéneos / heterogéneos
• Modelos de plasticidad
• Modelos viscosos

Fuente:

K. J. Bathe (1995): “Finite Element Procedures”, Prentice Hall, 2nd edition.

P. G. Ciarlet (1978): The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Ámsterdam, 1978.

P. G. Ciarlet (1991): “Basic error estimates for elliptic problems” en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions y P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, Ámsterdam, 1991, p. 17-351.